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摘要：如果你曾经花时间思考过复杂系统，你一定会意识到网络的重要性。 网络在我们的世界中起着主导作用。从细胞内部的化学反应路径，到生态系统中的相互关系，再到影响历史进程的贸易和政治网络，处处都是网络的影响。 想想你现在正在阅读的这篇文章吧。你可能是在某个社交网络上找到它的，通过计算机网络下载它，而现在你正在用你的神经网络来解读它。
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如果你曾经花时间思考过复杂系统，你一定会意识到网络的重要性。
网络在我们的世界中起着主导作用。从细胞内部的化学反应路径，到生态系统中的相互关系，再到影响历史进程的贸易和政治网络，处处都是网络的影响。
想想你现在正在阅读的这篇文章吧。你可能是在某个社交网络上找到它的，通过计算机网络下载它，而现在你正在用你的神经网络来解读它。
尽管我多年来一直在研究网络问题，但直到最近我才意识到简单扩散（simple diffusion）的重要性。
这正是我们今天讨论的主题：事物在网络中的移动和传播方式，其实是相当复杂的。让我们来看几个例子，以此来开启我们的探索之旅：
传染病如何在人群中从一个宿主跳到另一个宿主
推文在社交媒体的粉丝网络中如何传播
野火如何迅速蔓延
思想和实践是如何通过文化传播的
中子如何在一大块浓缩铀中引发级联反应
这篇文章的形式上有些简单说明：
与我之前的所有作品不同，这篇文章是互动式的。读者可以移动滑块、点击按钮，甚至会有一些元素在屏幕上动起来。我对此感到非常兴奋，希望你们也能感受到这份兴奋。
那么，让我们开始吧。我们的首要任务是开发一个可视化的词汇，用来描述事物在网络中的传播方式。
一个简单的模型
我相信大家都知道网络的基本原理，即节点（nodes）+边（edges）。
要研究扩散问题，我们唯一需要做的就是将某些节点标记为活跃（active）节点。或者，就像流行病学家喜欢说的那样，被感染（infected）了：
这种激活或感染将在网络中扩散。它根据我们将在下文制定的规则在节点间传播。
现在，现实世界中的网络通常比这个简单的 7 节点网络要大得多。它们也要混乱得多。但为了简化——我们在这里建立的是一个玩具模型——我们将在这篇文章中始终关注网格或格子网络。
(网格虽然不够逼真，但却很容易绘制）。
除非另有说明，否则网格中的节点将有 4 个邻居，就像这样：
我们应该想象这些网格向各个方向无限延伸。换句话说，我们不关心只发生在网络边缘的行为，也不关心小群体的行为。
鉴于网格网络非常规则，我们可以将其简化为像素网格。例如，这两张图片代表了同一个网络：
好了，让我们开始互动吧。
下面的网络底部有播放控制。按下 ▷ 按钮可观看激活传播，也可逐一观看：
未播放前
点击播放后的状态
在该模拟中，活动节点总是将其感染传播给（未感染的）邻居。
但这很无趣。如果传播是随机性的，就会发生更有趣的事情。
SIR 与 SIS
在下面的模拟中，你可以使用底部的滑块来改变传播速率：
这就是所谓的 SIR 模型。首字母代表节点可能处于的三种不同状态：
易受影响（Susceptible）
受感染（Infected）
已删除（Removed）
具体操作如下：
在疾病的语境下， 已删除，可能意味着这个人已经死亡，也可能意味着他们已经对病原体产生了免疫力。无论如何，我们说他们已经从模拟中“移除”，因为他们再也不会发生任何事情。
现在，根据我们要模拟的内容，我们可能需要 SIR 模型以外的其他模型。
在探索麻疹传播或森林大火的蔓延时，SIR模型无疑是理想的工具。但如果我们要研究新的文化习惯，比如冥想的普及，情况就不同了。
设想这样一个场景：起初，有些人对冥想一无所知，他们处于易感状态。一旦他们开始尝试冥想——可能是受朋友的启发——我们就把他们视为被“感染”了冥想的习惯。
但如果他们后来停止了冥想，这并不意味着他们从我们的模拟中消失或“死亡”，因为他们随时可能重新开始练习。于是，他们又回到了易感状态。
这是一个 SIS 模拟——（你猜对了）代表易感（Susceptible）-感染（Infected）-易感（Susceptible）。下面是它在网格上的样子：
💡 SIS 模型通常有两个参数：传输速率和恢复速率。不过，在这些模拟中，我选择了省略恢复率参数来简化模型。取而代之的是，一个感染（Infected） 节点会在下一个时间步自动过渡回易感（Susceptible） ，除非它碰巧被它的某个邻居感染。此外，我们允许在第 n 步被感染的节点在第 n+1 步感染自己，概率等于传播率。
讨论
正如你所看到的，这与 SIR 模型有很大不同。
由于节点永远不会清零（Removed），即使是一个非常小且有限的网格也能长时间维持 SIS 感染。感染只是从一个节点跳到另一个节点，最后又跳回来。
虽然 SIR 和 SIS 模型各有特点，但在我们今天的探讨中——即培养对这些模型的直观理解——它们出人意料地可以互相替代。因此，在接下来的论述中，我们将主要聚焦于 SIS 模型。选择 SIS 的一个重要原因是，它在模拟过程中展现出更为复杂和持久的变化，这使得分析和讨论更富有趣味性和深度。
达到临界点
在体验了 SIR 和 SIS 模型的模拟之后，你可能已经对感染持续的时间有所察觉了。
举个例子，当传播率很低，比如只有 10%，感染就很容易消失。但当传播率较高，如达到 50%，感染便能持续存活，并逐渐占据网络的大部分区域。如果这个网络是无限的，那么感染可能会无休止地向外扩散。
这种无限传播有很多种叫法，比如“病毒式传播”、“核级扩散”，或者正如本文标题所指的“达到临界状态”。
有趣的是，存在一个精确的临界点，它将注定消亡的亚临界网络和能够无限增长的超临界网络区分开来。这个临界点被称为“临界阈值”，它是在常规网络上发生扩散过程的一个普遍特性。
临界阈值的确切数值因网络而异，但所有网络都存在这样一个临界值。
现在，让我们来看看一个 SIS 网络的实例。你能找出它的临界阈值吗？
讨论
根据我的测试，临界值似乎在 22% 到 23% 之间。（剧透）
当传播率为 22% 或更低时，感染最终会消亡。而当传播率达到或超过 23% 时，初始感染有时会消亡，但在大多数情况下，它能够持续生存并传播，从而实现“永久存活”。
(有趣的是，学术界专门有一块领域致力于为不同网络拓扑结构找到这些临界阈值。想要深入了解，可以浏览一下维基百科上关于“渗流阈值”的页面。）。
一般来说，情况是这样的：在临界阈值以下，网络上的任何有限感染都终将消亡（概率为 1）。但在临界阈值以上，感染有可能（概率大于 0）永远持续下去，并可能从初始地点无限扩散。
但值得注意的是，即使在超临界网络中，感染也不一定会永远持续下去。实际上，在模拟的早期阶段，感染经常会消失。
要了解这一点，假设我们从一个感染（Infected）节点及其 4 个邻居开始。在模拟的第一步，感染有 5 次独立的传播机会（包括在下一个时间步骤中“传播”到自身的机会）：
假设传播率为 50%。这样的情况下，模拟的第一步就等同于掷 5 次硬币。如果所有的结果都是反面，那么感染就会被扑灭。
在第一步中，这种情况发生的概率大约为 3%。如果感染在第一步中存活下来，它在第二步中灭绝的概率（通常会更小），以及在第三步及以后各步骤中灭绝的概率（会更进一步减小），都会存在。
因此，即便网络处于超临界状态——即使传播率高达 99%——感染仍有可能熄灭。
但重要的是，感染并不会总是熄灭。当你把所有步骤中熄灭的概率加起来，总和依然小于 1。换句话说，感染有非零的概率会永远持续下去。这就是所谓的网络超临界状态。
SISa：自发激活
在目前为止的所有模拟中，我们都是从中心的一小块预感染节点开始的。
但如果我们选择从零开始呢？这就需要我们模拟自发激活的过程，即一个易感节点（Susceptible）在没有邻居的感染作用下，随机变成感染状态（Infected）。
这种模型被称为SISa模型，其中的“a”代表“自动”（automatic）。
在以下的 SISa 模拟中，有一个新的参数——自发激活率，它决定了自发感染发生的频率。（传播率参数，我们之前已经见过了。）
要使感染传播到整个网络，需要满足哪些条件？
讨论
你可能已经注意到，增加自发激活率并不会改变感染是否能控制整个网络。在这个模拟中，只有传播率决定了网络是亚临界还是超临界。
当网络处于亚临界状态（传播率 ≤ 22%）时，无论感染发生多频繁，都无法扩散和持续。
这就好比在潮湿的田野里生火。你可能会点着几片干树叶，但火焰很快就会熄灭，因为其他地方还不够易燃（次临界）。而在非常干燥的田野里（超临界），可能只需要一个火星就能引发熊熊野火。
我们在创意和发明的领域也能看到类似的情况。通常，世界可能还未准备好接受某个想法，在这种情况下，这个想法可能会被反复发明，却始终不被接受。
在另一个极端，世界可能已经为某个发明做好了充分的准备（有大量潜在需求），因此它一经发明，便会被广泛采用。
在两者之间的是那些在多个地方被独立发明并在局部传播的想法，但没有任何一个版本能够立刻占领整个网络。例如，农业和文字的发明，分别独立发明了大约 10 次和 3 次。
免疫
在我们的模拟中，如果让某些节点对激活具有完全的抵抗力或称之为“免疫”，就好比是将它们置于“Removed”状态，然后在剩余节点上运行 SIS(a) 模型。
你可以在下面尝试这种设置。这里的“免疫”滑块控制着被置为“Removed”状态的节点比例。尝试在模拟运行时调整滑块，观察它对网络是否超临界的影响。
讨论
改变免疫节点的数量显然会影响网络是处于亚临界还是超临界状态。原因并不难理解。当许多节点都具有免疫能力时，每次感染传播到新宿主的机会就会减少。
这一点有很多重要的实际应用。
一个例子是防止野火蔓延。虽然个人总是需要采取本地的预防措施（例如，不让明火无人看管），但在更大的范围内，小规模的爆发是不可避免的。
因此，另一种缓解方法是确保有足够的“空隙”（在易燃物网络中），使得爆发无法席卷整个网络。这就是防火墙和防火隔离带的原理。
另一个重要的例子是阻止传染病的传播。这里引入了群体免疫的概念。即使有些人无法接种疫苗（例如，因为他们的免疫系统受损），只要有足够多的人接种了疫苗，疾病就不会无限蔓延。
换句话说，为足够多的人接种疫苗可以使人口从超临界状态降至亚临界状态。当这种情况发生时，单个病人可能仍然会感染这种疾病，但在没有超临界网络的情况下，疾病只会感染少数人。
最后，我们可以利用免疫节点的概念来理解核反应堆中的情况。在核链式反应中，一个衰变的铀-235原子释放出的中子会引发其他铀-235原子分裂，从而产生新的中子，如此形成指数级增长的链式反应：
在制造炸弹时，目的是让这种指数增长不受控制。但在发电厂中，目标是在不危及周围居民的情况下产生能量。
为此，我们使用控制棒，这些控制棒由可以吸收中子的材料（如银或硼）制成。控制棒的作用类似于我们模拟中的免疫节点，它们防止放射性核心达到超临界状态。
因此，运行核反应堆的关键是让反应保持在临界阈值附近，同时确保在出现任何问题时，控制棒能够迅速插入核心以阻止反应继续进行。
度数
节点的“度数（degree）”指的是它连接的邻居数量。到目前为止，我们所探讨的网络，每个节点的度数都是 4。但如果我们改变这个参数，会发生什么呢？
比如，我们可以让每个节点不仅与其四个直接邻居相连，还与其四个对角线邻居相连。在这样的网络中，每个节点的度数就是 8。
你可以在下面使用该参数：
讨论
理解这里发生的事情并不困难。当每个节点连接更多的邻居时，感染传播的机会就增多了，因此网络更有可能达到临界状态。
不过，这可能会产生令人惊讶的影响，我们将在下文中看到。
城市和网络密度
我们的网络到目前为止都是完全同质的，即每个节点看起来都与其他节点相同。但如果我们打破这个假设，允许网络中的事物发生变化会怎样呢？
例如，我们尝试模拟城市。我们通过在网络中创建连接更密集（度数更高）的区域来实现这一点。这种设计受到了一些数据的启发，数据表明城市中的人比乡村的人有更广泛的社交圈和更多的社交互动。
在下面的模拟中，我们根据节点的度数为易感节点（Susceptible）着色。在“乡村”区域的节点度数为4（颜色为浅灰色），而在“城市”区域的节点度数更高（颜色相应更深），从郊区的5度开始，一直到市中心的8度。
你能让最初的激活扩散到城市，然后仅在城市中持续存在吗？
未开始前的状态
开始后，将传播速率调整为 21%
讨论
我发现这种模拟既显而易见，又令人惊讶。
城市能够支持比农村更多样的文化，这是众所周知的。但令我感到惊讶的是，一些文化多样性仅仅基于社交网络的拓扑结构就能产生。
这一点值得深究，让我来仔细解释一下。
我们在这里处理的是那些简单直接从一个人传播到另一个人的文化形式。例如，礼仪、客厅游戏、时尚潮流、语言趋势、小团体仪式、口口相传的产品，以及我们称之为思想的许多信息包。
（需要注意的是，大众媒体极大地复杂化了人际间的传播。所以，在思考这些过程时，想象一个技术更原始的环境（例如古希腊），在那里几乎所有文化都是在面对面的互动中传播的，这可能会有所帮助。）
从上述模拟中，我们可以得出一些有趣的见解：有些思想和文化习俗能够在城市中扎根并传播开来，而在农村地区则完全无法实现这一点，从数学上讲是不可能的。这些思想和文化习俗涉及到的是同样的观念和相似类型的人。
问题并不在于农村人士的思维方式，例如他们并非“心胸狭窄”；当他们接触到这些想法时，他们接受这些想法的可能性与城市居民一样高。问题在于，这些想法本身无法在农村地区广泛传播，因为那里缺乏足够多的传播途径。
这一点在时尚领域尤为明显，比如服装、发型等。在时尚网络中，我们可以说，每当两个人注意到彼此的服装时，网络中就会形成一条边（edge）。
在城市中心，每个人每天可能会看到1000多个不同的人——在街道上、地铁里、拥挤的餐厅等地方。相比之下，农村地区的居民每天可能只会见到几十个人。
仅凭这一差异，城市就有能力支持更多的时尚趋势。而只有那些最吸引人、传播率最高的潮流才有可能在城市之外获得一席之地。
我们往往认为，如果某个想法是好的，那么它最终就会影响到每一个人；如果某个想法是坏的，那么它就会消失。虽然极端情况下确实如此，但在这两者之间，有很多想法和做法只能在特定的网络中传播。我发现这一点很吸引人。
不仅仅是城市
我们在这里探讨的是网络密度的影响。对于一组给定的节点，密度的定义是实际边的数量除以潜在边的数量。也就是说，实际存在的可能连接的百分比。
因此，正如我们所看到的，城市中心的网络密度高于农村地区。但城市并不是我们发现密集网络的唯一地方。
高中是一个有趣的例子。考虑一下，在同一个社区中，学生之间的网络与他们父母之间的网络相比。地理区域和人口规模相似，但一个网络的密度比另一个高出许多倍。因此，时尚和语言潮流在青少年中蔓延，而在成年人中传播得更慢，这一点也就不足为奇了。
同样，精英网络通常比非精英网络密集得多——在我看来，这是一个被低估的事实。（受欢迎或有权势的人花更多时间在社交网络上，因此他们的“邻居”比普通人更多。）
根据上述模拟，我们可以预期精英网络会支持一些主流网络无法支持的文化形式，这仅仅是基于网络的平均程度。至于这些形式可能是什么，就留给大家去推测了。
最后，我们可以将这种观点应用于互联网，将其视为一个巨大且非常密集的网络城市。不出所料，有许多新型文化在网上蓬勃发展，而这些文化在纯粹的肉体空间网络中无法维持。
大多数这些文化是我们想要庆祝的事物：小众爱好、更高的设计标准、对不公正的更深入了解等等。
但这并非全是好事。就像最早的城市是无法在较低人口密度下传播的疾病的温床一样，互联网也是恶性文化形式的温床，如点击诱饵、虚假新闻和表演性愤怒。
知识
“在正确的时间得到正确专家的关注，往往是创造性解决问题过程中最宝贵的资源”。——迈克尔·尼尔森，《重塑发现》（Reinventing Discovery）
在讨论知识的传播和增长的过程中，我们经常将发现或发明视为个别天才头脑中的过程。一个灵感的闪现可能带来体积测量的新方法、重力方程，或是灯泡的发明。
但是，从孤独发明者的视角出发，将注意力集中在发现的那一刻，是以节点的视角来看待这一现象。而正确地理解是，发明是发生在网络上的事情。
网络在至少两个方面至关重要。首先，预先存在的想法必须传入发明者的思维之中。这些是新论文的引用、新书的参考书目——也就是牛顿所说的他所站立之“巨人的肩膀”。
其次，网络对于将新想法传播出去至关重要；一个没有传播的发明几乎不能称之为“发明”。因此，出于这两个原因，将发明——或更广泛地说，知识增长——视为一个扩散过程是有意义的。
接下来，我将展示一个关于知识如何在网络中扩散和增长的简单模拟。但在此之前，我需要先对其进行解释。
模拟开始时，网格的每个象限将有 4 名专家，如图所示：
专家1构思了一个初步的想法，我们姑且称之为想法1.0。专家2擅长将这个初步想法升级，变成更成熟的想法2.0。专家3再进一步，将想法2.0提升为想法3.0。最后，专家4如点睛之笔，完善这一创意，打造出精炼的想法4.0。
这个过程可以比作是一门技艺，比如折纸艺术。在这门艺术中，不断发展的技巧与其他技巧相融合，创造出更加引人入胜的作品。同样，这也能代表一个知识领域，如物理学。在这个领域里，新的研究成果是建立在早期物理学家奠定的基础之上。
这个模拟的巧思在于，我们需要四位专家各展所长，共同贡献出最终版本的创意。在每个发展阶段，这个想法需要被逐步传递给相关的专家。
下面是它的实际效果：
未开始前的状态
开始后的状态
讨论
这只是一个极度简化了的模型，用来说明知识是如何增长的。它省略了许多重要的细节（参见上文提到的注意事项）。但我认为，它捕捉到了这一过程的核心要素。因此，我们可以初步运用我们到目前为止所学的有关扩散的知识，来推理知识增长的过程。
特别是，扩散模型给我们提供了如何加速的直观理解：让专家之间更容易分享想法。这可能意味着清除那些阻碍想法扩散的障碍。也可能意味着把所有专家聚集在一个充满活力的城市，让想法迅速流传。或者简单地让他们聚在同一个房间里：
未开始前状态
开始后状态
所以，关于扩散，我要分享的内容就到此为止。
但我还有一个重要的想法要分享，这关乎科学界知识的增长与停滞。这个话题在语气和内容上都与前面所说的有所不同，但我希望大家能够理解。
关于科学网络
在我看来，下面展示的循环是世界上最重要的正反馈循环之一，而且这种循环已经存在很长一段时间了：
循环的上升阶段（K ⟶ T）相对简明：我们用新的知识来开发新的工具。比如，通过理解半导体物理学，我们能够制造出计算机。
但下降阶段需要更细致的解释。技术的增长是如何引导知识的增长的呢？
一个最直接的方式是：新技术为我们提供了观察世界的新方法。比如，更先进的显微镜使我们能够更深入地探究细胞内部，从而增进我们对分子生物学的理解。GPS追踪器帮助我们了解动物的迁徙路径。声纳技术让我们探索了海洋的奥秘。诸如此类。
这种机制无疑至关重要，但从技术到知识还有至少两条其他路径。它们可能不那么直观，但我认为它们同样重要：
一. 技术带来经济盈余（即财富），而经济盈余反过来又允许更多的人专注于知识生产。
如果你的国家有90%的人口从事自给自足的农业，剩余的10%大多从事商业或战争，那么就不会有太多人有时间去思考自然规律。这或许是为什么在近代之前，大部分的科学研究都是由富裕家庭的子弟完成的。
如今，美国每年培养出超过5万名博士。这些博士生不是在18岁（或更早）就开始工作，而是需要在他们20多岁甚至30多岁的时候继续获得资助——即便如此，他们能否产出真正具有经济价值的成果还是未知数。但这是推动他们走到知识前沿的必要条件，特别是在物理学或生物学这样的高难度领域。
关键是，从系统角度来看，专家的培养成本并不低。而资助这些专家的社会财富最终来源于新技术；换句话说，是犁补贴了笔。
二。新技术，特别是在旅行和通信方面的技术，改变了知识增长依赖的社会网络结构。尤其重要的是，它使得专家和专业人士之间的网络联系更加紧密。
这方面的重要发明包括印刷机、蒸汽船和铁路（使远距离旅行和邮寄变得更加便捷）、电话、飞机和互联网。
这些技术都有助于提升网络密度，尤其是在专家社区内部（这也是绝大多数知识增长发生的地方）。例如，中世纪晚期欧洲学者之间形成的书信网络，或是现代物理学家如何利用 arXiv.org 进行交流。
总的来说，这两条路径是相似的。它们都导致专家网络密度的增加，进而促进知识的增长：
多年来，我对学术界持有一种轻蔑态度。短暂的博士生经历让我留下了不好的印象。但现在，当我退一步来看（并抽象化我所有的个人问题）时，我不得不承认，学术界依然极其重要。
学术社交网络（例如科学研究社区）是我们文明产生的一些最精致、最有价值的结构。没有哪个地方能比这里聚集更多全职专注于知识生产的专家。也没有哪个地方的人们能更好地理解和批判彼此的想法。这是进步的核心所在。正是在这些网络中，启蒙运动的火焰燃烧得最为炽热。
但我们不能认为进步是理所当然的。如果可重复性危机告诉了我们什么，那就是科学可能存在系统性问题。而观察这些问题的一种方式就是网络退化。
假设我们区分两种科学实践方式：真正的科学与职业主义科学。真正的科学是指那些可靠地产生知识的习惯和做法。它以好奇心驱动，特征是诚实。（费曼说：“我只是想了解这个世界。”）而职业主义科学，则以职业抱负为动力，特点是玩弄政治和走科学捷径。它可能看起来和行动像科学，但它不会产生可靠的知识。
（是的，这是一个夸张的二分法。这是一个思考练习。忍耐一下。）
开始前的状态
开始后的状态
关键是，当职场人士占据真正的科学研究社区的位置时，他们会干扰正常的工作。
当其他成员都在努力学习和分享真理时，他们却在推销自己。他们不是为了清晰而努力，而是为了听起来更加印象深刻而使事情变得复杂和模糊。他们从事的是（哈里·法兰克福可能称之为的）科学胡说八道。
因此，我们可以将他们视为对知识增长所必需的诚信信息交流免疫的“死节点”：
也许一个更合适的模型是，这些职业主义节点不仅对知识漠不关心，而且还积极传播假知识。比如，假知识可能包括被过度吹嘘的次要结果，或者是因为数据操纵或伪造数据而产生的确实错误的结果。
但无论我们如何定义他们，职业主义者肯定有可能抑制我们的科学社区的发展。
这就像是我们迫切需要的一种核反应 —— 知识的大爆炸 —— 只不过我们的浓缩铀-235被过多的铀-238（一种抑制链式反应的非活跃同位素）掺杂了。
当然，职业主义科学家和真正的科学家之间并没有严格的界限。我们每个人内心都有一些职业主义。问题在于网络能承受多少职业主义，在变得沉默之前。
哦，嗨，你读到最后了。感谢你的阅读。
- 除了少数节点（如上面的中心节点）开始时为受感染（Infected）外，其他节点开始时均为 易受影响（Susceptible） 。
- 在每个时间步长内， 受感染节点都有机会将感染传给其易受影响的邻居，概率等于传播率。
- 受感染后，节点会过渡到已删除状态，表明它们不再能够感染他人或自己再次被感染。
最初发布于 2019 年 5 月
13 日。
FAQ
1. 关于「知识」，核心要点是什么？
“在正确的时间得到正确专家的关注，往往是创造性解决问题过程中最宝贵的资源”。——迈克尔·尼尔森，《重塑发现》（Reinventing Discovery）
2. 关于「讨论」，核心要点是什么？
这只是一个极度简化了的模型，用来说明知识是如何增长的。它省略了许多重要的细节（参见上文提到的注意事项）。但我认为，它捕捉到了这一过程的核心要素。因此，我们可以初步运用我们到目前为止
3. 关于「关于科学网络」，核心要点是什么？
在我看来，下面展示的循环是世界上最重要的正反馈循环之一，而且这种循环已经存在很长一段时间了：
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